از یک طرف، هیچ رابطۀ مقایسه‌ای میان امرِ متناهی و امرِ نامتناهی وجود ندارد، و با این‌حال از طرف دیگر، نامتناهیْ «واحد، بسیط‌ترین و بسنده‌ترین معیار» برای چیزهای متناهی است. به‌چه معناییْ امرِ نامتناهی معیاری برای امرِ متناهی است؟ برای پرداختن به این پرسش، کوزانوس به سه استعارۀ ریاضی متوسل می‌شود. هر استعاره جنبه‌های مهمی را آشکار می‌سازد که در آن امرِ نامتناهی به‌عنوان سنجه و معیارِ امرِ متناهی عمل می‌کند.
اشاره: 20 مرداد امسال به نقلی مصادف است با سالروز مرگ نیکلاس کوزانوس (11 آگوست 1464). مردی که از او به‌عنوان دربان عبور از قرون وسطی به عالم مدرن یاد می‌شود. کوزانوس در ابتدای کتاب درباب جهل آموخته، اصل بنیادین فلسفه‌ورزی نظرپردازانۀ خود که درواقع بنیان تمام فلسفۀ اوست را این‌گونه بیان می‌کند: «این بدیهی است که هیچ نسبتی میان محدود و نامحدود نیست». کوزانوس معتقد است وقتی دو چیز را در کنار یکدیگر مقایسه می‌کنیم، به این مسئله خواه‌ناخواه اذعان داریم که هر دو در حیثی موافقت دارند و همچنین در همان حال درجه‌ای از تمایز را حفظ می‌کنند. او معتقد است که تمام امر مقایسه و حتی تمیز، وابستۀ ردپای امر نامتناهی در نهاد تمام چیزهاست. الیزابت براینت در این مقاله به سه استعارۀ ریاضی که کوزانوس از آن‌ها برای بیان نسبت نامتناهی با متناهی به‌عنوان امر افضل و معیار استفاده می‌کند می‌پردازد اما این استعاره‌ها به وضوح از حد چند مثال جالب ریاضی تا کران‌های ارتباط هر وجود متناهی با امر نامتناهی فراتر می‌رود و نشان می‌دهد چگونه حتی در شمارشِ عادی‌مان، نطق، تصور، مقایسه‌کردن و حتی ارتباط روزمره با متافیزیک و اساساً بنیاد تفکرمان از اساس وابستۀ فهم ارتباط متناقض نامتناهی با متناهی هستیم. سوالی که خانم الیزابت براینت (استاد فلسفه در دانشگاه جورجیا) سعی در تصویر آن از نظرگاه کوزانوس دارد، نام مقالۀ اوست: چگونه نامتناهی می‌تواند معیاری برای متناهی باشد؟
در ابتدای کتاب جهلِ آموخته، نیکولاس کوزایی به‌وضوح اصلِ بنیادینِ متافیزیک گمان‌پردازانۀ خود را بیان می‌کند: «این بدیهی است که هیچ نسبتی میان محدود و نامحدود نیست». کوزانوس معتقد است وقتی دو چیز در رابطه‌ای مقایسه‌ای یا نسبتی قرار دارند، از حیثی با یکدیگر موافقت و همدلی دارند و به‌موجب آن توافق و همدلی می‌توانند با هم مقایسه شوند. در همین حال، [این] دو چیز درجه‌ای از تمایزِ باهم را [نیز] حفظ می‌کنند، زیرا در غیر این صورت به اینهمان‌شدن دچار می‌شوند و دیگر دو چیز مجزا و متمایز نخواهند بود. درواقع، کوزانوس بر این باور است که عددْ شرطِ لازم برای تمام روابط مقایسه‌ای و نسبتی (یعنی هر آنچه که در قلمروی «کمتر» و «بیشتر»، «این» و «آن»، «مشابه» اما «متفاوتْ» وجود دارد) است. به‌علاوه، تنها چیزهای متناهی می‌توانند در رابطۀ مقایسه‌ای یا نسبتی قرار گیرند، زیرا تنها چیزهای متناهی به این معنا متعین هستند. آن‌طور که کوزانوس ادعا می‌کند، نامتناهی (qua infinite) «از هر نسبتی می‌گریزد».
با این اوصاف، کوزانوس این [ایده] را حفظ می‌کند که نامتناهیِ الهی (بیشینه‌ی مطلق) «واحد، بسیط‌ترین، و تنها بسنده‌ترین معیار برای تمام کیهان و برای هرچیزی که در کیهان وجود دارد است». ما می‌خواهیم با این تناقض آشکار چه کار کنیم؟ از یک طرف، هیچ رابطه‌ی مقایسه‌ای (nulla proportio) میان امرِ متناهی و امرِ نامتناهی وجود ندارد، و با این‌حال از طرف دیگر، نامتناهیْ «واحد، بسیط‌ترین و بسنده‌ترین معیار» برای چیزهای متناهی است. به چه معنایی امرِ نامتناهی معیاری برای امرِ متناهی است؟ برای پرداختن به این پرسش، من سه استعارۀ ریاضی که کوزانوس برای تبیین چگونگیِ امکانِ این گزاره استفاده کرده است را بررسی می‌کنم. هر کدام از این سه استعاره، یک جنبۀ مهم از روشی را برجسته می‌سازد که در آن می‌توان صحبت از این به میان آورد که نامتناهیْ متناهی را «می‌سنجد».
اولین استعارهْ خودِ عدد است. کوزانوس از مثالِ شمارش برای نشان‌دادن نحوه‌ای که امرِ افضل همواره معیار بی‌چون و چرایی برای امر مقایسه‌ای است، بهره می‌جوید. بدین معنا که توانایی ما برای تشخیص امرِ مقایسه‌ای به‌مثابۀ امرِ مقایسه‌ای، [خود] حاکی از آگاهی [- ِما] از امر افضل است. استعارۀ دوم شامل ملاحظۀ ماهیتِ پیوستگی و به‌طور خاص، انقسام یک خطِ متناهی است. کوزانوس از این مثال استفاده می‌کند تا نشان دهد امرِ نامتناهی معیاری برای امرِ متناهی است تا بدان‌جا که امرِ نامتناهی ذاتِ امرِ متناهی است. استعارۀ سوم در مورد nضلعی محاط در دایره است. همانطور که تعداد اضلاعِ [و نیز گوشه‌های] این چندضلعی افزایش می‌یابد، به انطباق با محیط دایره نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. کوزانوس از این استعاره استفاده می‌کند تا روشی را که در آن نامتناهی (به‌معنای هدف و کمالِ متناهی‌بودن) معیارِ امرِ متناهی است، به‌تصویر بکشد. در اینجا، همچنین، می‌بینیم که کوزانوس ایده‌پردازی از مسیح را به‌عنوان حد-مفهوم گسترش می‌دهد تا به ارتباط بین دو مرتبۀ نامتناهی‌بودن بیاندیشد: نامتناهیِ مطلقِ خداوند و نامتناهیِ ناشی از فقرِ جهان. این استعاره تجسمِ واضحی از روشی است که مطلقاً نامتناهی به‌مثابۀ معیاری برای نامتناهیِ ناشی از فقری که میلِ بی‌پایان به یک حد دارد، نقش ایفا می‌کند.
دنبالۀ اعداد
نخستین مثال، دنبالۀ اعداد یا همان شمارشِ ساده است. کوزانوس معتقد است که دنبالۀ اعدادْ متناهی است. مقصود او این است که ممکن نیست بتوان با افزایشِ متوالیِ مقادیرِ متناهی به نامتناهی رسید. من در هنگامی که در 10000 هستم نسبت به وقتی که در 100 بودم به انتها «نزدیک‌تر» نیستم. در واقع، این ویژگی مشخصۀ ذاتی هر عدد است؛ بدین معنا که همواره در رابطۀ مقایسه‌ای با یک عددِ بزرگ‌ترِ قابل‌فرض قرار می‌گیرد. «روند» افزایش بی‌انتها در قلمروی امرِ مقایسه‌ای، یعنی در حوزۀ کمیت‌های متناهی که به‌صورت مقایسه‌ای بزرگ‌تر یا کوچک‌تر هستند، هیچ‌گاه به‌واقع به امرِ نامتناهی نخواهد رسید. هر عدد طبق ماهیتِ خود، متناهی است و از این‌رو، به‌طور بالقوه توسطِ یک عددِ همچنان بزرگ‌تر می‌توان از آن پیشی گرفت. این دقیقاً همان چیزی‌ست که ما وقتی می‌گوییم دنبالۀ اعداد بی‌انتها است در نظر داریم؛ تصاعد و پیشرفتْ «به‌طور بالقوه نامتناهی» است، یا [همانطور که کوزانوس می‌گوید] فزونی تا بی‌نهایت ادامه دارد، «goes on ad infinitum». منظور ما این نیست که دنبالۀ اعداد در عددی «بیشینه» [=ماکزیمم] یا «نامتناهی» به پایان می‌رسد. بلکه، فارغ از اینکه یک عددِ معین چه قدر بزرگ می‌تواند باشد، همچنان «به‌نحو نامتناهی» از انتهای دنباله فاصله دارد، بدین معنی که دنباله نمیتواند پایانی داشته باشد. در این معنا، امرِ نامتناهی در مقام معیاری برای ویژگیِ بالقوه پایان‌ناپذیرِ افزایشِ مقایسه‌ای قرار می‌گیرد.
این فکر درباب امرِ نامتناهی، به‌مثابۀ بیشینه‌ای که هرگز نمی‌توان با افزایشِ مقایسه‌ای به آن رسید، زمینه‌ساز درکِ من از قابلیتِ پیشی‌گرفتنِ ذاتی از هر کمیتِ متناهی مفروض است؛ به‌عبارتی، مبنای فهم من از ماهیتِ اساساً مقایسه‌ای خودِ عدد است. باز هم، به این دلیل است که می‌توانم بیشینه را در مقام چیزی که با افزایشِ مقایسه‌ای نمی‌توان به آن رسید درک کنم و می‌توانم بفهمم اینکه چیزی صرفا به‌نحو مقایسه‌ای بزرگ باشد یعنی چه، و می‌توانم امر به‌نحو مقایسه‌ای بزرگ را چنین تشخیص دهم که همواره به‌طور بالقوه به‌وسیلۀ چیزی همچنان بزرگ‌ترْ [از آن] قابل‌پیشی‌گرفتن باشد. برای حصول چنین شناختی از امرِ افضل، من از آگاهیِ ضمنی[ام از] امرِ مطلقا بزرگ بهره می‌جویم. در اینجا، امرِ افضل، در کلمات توصیفیِ «صرفا» و «همواره» از پیش فرض گرفته شده است. [امرِ افضل] معیارِ قابل‌فهم بودن امرِ مقایسه‌ای به‌عنوان مقایسه‌ای است. درحالی‌که، نامتناهی (qua infinite) ورای فهم ماست، زیرا از تمام روابطِ مقایسه‌ای فراتر می‌رود. با این حال، به‌طور «غیرقابل‌درک» و ضمنی در همان عملِ به‌فراچنگ آوردن امرِ مقایسه‌ای به‌عنوان مقایسه‌ای، فهمیده می‌شود. چنین کاری، سبکِ همیشگی کوزانوس در اندیشه‌هایش است، سبکی که پیکرۀ آثارش را دربرمی‌گیرد و شاید صریح‌ترین و عام‌ترین صورت‌بندی آن را رسالۀ در بابِ رفیع‌ترین سطحِ تاملِ اندیشمندانه ارائه کرده باشد. در اینجا، کوزانوس این شهود یا آگاهی از نامتناهیِ الهی را به‌مثابۀ نوعی تصویرِ ذهنی که از قدرتِ ذهن برای دریافتنْ فراتر می‌رود توصیف می‌کند، اما با این وجود، [این شهود] در همان قدرت از پیش فرض گرفته شده است:
بدین‌ترتیب، تصویرِ سادۀ ذهن، تصویر قابل‌درکی نیست اما خودش را از [مرحله‌ی] تصویرِ قابل‌درک به مشاهدۀ امرِ غیرقابل‌درک ارتقا می‌دهد. برای مثال، هنگامی که چیزی را، به‌نحو قابل‌درکی، بزرگ‌تر از چیز دیگری می‌بیند، آنگاه خود را برای دیدن امری که هیچ چیز نمیتواند از آن بزرگ‌تر باشد بالا می‌برد. و این امرْ نامتناهی است، بزرگ‌تر از تمام چیزهایی که قابل‌اندازه‌گیری یا قابل‌فهم باشند.
این همان بینش کلیدی است، بدین‌معنا که امرِ افضلْ معیارِ ضمنی برای فهم‌پذیر بودنِ امرِ مقایسه‌ای است و کوزانوس آن را در مثالِ دنباله‌ی اعداد در رساله‌ی درباره‌ی جهلِ آموخته، به‌صورت بسیار مشهود می‌یابد.
درواقع، در این مثال، یک معنای ثانوی و به‌همان اندازه مهم وجود دارد که در آن، می‌توان امرِ افضل را چنین درنظر گرفت که در مقامِ معیارِ فهم‌پذیربودنِ امرِ مقایسه‌ای نقش ایفا کند. این معنا باید به‌طریقی به‌کار گرفته شود که در آن امرِ افضل -که در اینجا به‌عنوان کمترین درنظر گرفته شده است- پی و اصلِ تمامِ اعداد باشد. کوزانوس معتقد است وقتی که به جنبۀ مهم دیگرِ سریِ اعداد دقت می‌کنیم این معنا واضح می‌شود. حال آنکه چنین است که در سیرِ صعودیِ دنبالۀ اعداد، همیشه می‌توان عددِ بزرگ‌تری را فرض کرد، اما چنین نیست که سیر نزولی دنبالۀ اعداد، به نحو مشابهی، پایان-باز باشد. درحقیقت، در طی سیرِ نزولیِ سریِ اعدادِ طبیعی، واقعاً به حداقلی می‌رسیم که دیگر چیزِ کمتر از آن وجود ندارد و اینْ همان واحد (unitas) است. با شمارش معکوس، درنهایت به یک می‌رسیم و باید یگانگی را به‌عنوان آغازِ عدد، هستیِ عدد، و معیارِ واحدی که به‌موجب آن تمامِ اعداد در ارتباط با یکدیگر مرتب می‌شوند، فهم کرد.
کوزانوس در اینجا در حال پیش‌کشیدن مفهومی از سنتِ یونانی است که طبق آن یک به‌خودی‌خود عدد نیست اما پایه و اساسِ تمامِ اعداد است. او از این دیدگاهِ نوافلاطونی پیروی می‌کند که یگانگی یا وحدت، منبع پایان‌ناپذیرِ تمامِ اعداد است و واحد و عدد را در رابطۀ درهمپیچیدهشدن-گشوده‌شدن (complication-explication) می‌فهمد. وحدت، درهمپیچیدهشدن یا دربرگرفتنِ تمامِ اعداد است و عدد، گشوده‌شدنِ وحدت است. همچو منبعِ پایان‌ناپذیرِ اعداد، واحد یا یگانگیِ نامتناهی دقیقا همان افضلیتی‌ست که همواره از عظمتِ مقایسه‌ای هر عددِ قابل‌تصوری پیشی می‌گیرد. [کوزانوس] این نکته را پیرو متنی از رسالۀ دربارۀ حدس‌ها روشن می‌کند:
هان! با ژرفای ذهن به قدرتِ بی‌کرانِ یگانگی (unitatis infinitam potentiam) بنگر، برای اینکه یگانگیْ بی‌نهایت بزرگ‌تر از هر عددِ قابل‌تصوری است. زیرا هیچ عددی، هر قدر بزرگ، وجود ندارد که در آنْ قدرتِ یگانگی خفته باشد. پس از آنجایی که، در خلال قدرتِ یگانگیْ همواره می‌توان عددی بزرگ‌تر از هر عددِ قابل‌تصوری داشت، از قدرت لایزالِ آن یگانۀ بی‌همتا آشکار است که یگانگیْ قادر مطلق است.
این مهم نیست که چقدر زیاد بشمارم، همیشه می‌توانم یکی اضافه کنم و همچنان به عدد بزرگ‌تری برسم.
با این حال، قدرت یگانگی در تمامی اعداد، اعم از کوچک و بزرگ، به‌معنای اساسیِ دیگری نیز فعال است. عدد همیشه حاکی از نوعی کثرت است و هر عددِ معین باید به‌صورت متشکل از کثرتی از آحاد فهمیده شود. برای مثال، عددِ سه از سهِ واحد تشکیل شده است. هرچند صرف [درکنار هم] قرار دادن سه واحد به‌طور جداگانه (یک، یک، یک) کافی نیست، بلکه باید آن‌ها را با یکدیگر به‌عنوان یک واحد در نظر گرفت. بدین‌ترتیب، عددْ کثرتی وحدت‌یافته، یکپارچه و یا اتحادی از آحاد است. کوزانوس چیزی را که در ذهن دارد در قطعۀ زیر از کتابِ «شخص عامی: در باب ذهن» توضیح می‌دهد:
اگر بگویید عددِ سه از سهِ واحد تشکیل شده است، مثل این است که کسی بخواهد بگوید دیوارها و سقفْ به‌صورت جداگانه و مجزا از یکدیگر خانه را می‌سازند. زیرا اگر سقف و دیوارها هرکدام به‌طور جداگانه وجود داشته باشند، آنگاه دیگر خانه از آن‌ها ساخته نشده است. به‌همین ترتیب، سه واحدِ مجزاْ عددِ سه را نمی‌سازند. بنابراین، اگر واحدها را طوری درنظر بگیرید که عدد سه را تشکیل بدهند، [خودبه‌خود] آن‌ها را در مقام متحد و متکی به‌هم درنظر گرفته‌اید. پس، سه واحدِ متحد، هم‌بسته و متکی به‌هم، چیست مگر [همان] عددِ سه؟
بنابراین، یگانگی یا وحدتْ اصلِ مولدِ عدد است؛ هم به‌عنوان معیارِ واحد که مقدار را بنیان می‌گذارد و مقایسۀ کمّی را ممکن می‌کند (سه واحدِ عددِ سه، در مقایسه با چهار واحدِ عددِ چهار) و هم به عنوان عاملی که واحدها را در چندگانگیِ متمایزی (یعنی به یک عددِ منفرد و متمایز (عددِ چهار یا عددِ سه)) یکپارچه می‌سازد. بدون یگانگی، «هیچ تمایزی میان چیزها وجود نداشت؛ نه ترتیب، نه چندگانگی، نه بزرگ‌تری و نه کوچک‌تری در اعداد یافت نمی‌شد؛ درواقع، خودِ عدد وجود نمی‌داشت».
از این‌رو، اگر امرِ افضل در مقام امرِ بیشینه در تشخیص پیشی‌پذیریِ ذاتیِ امرِ مقایسه‌ای پیش‌فرض گرفته شود -در پایان‌ناپذیریِ سیرِ صعودی- این امرِ افضل در مقامِ امرِ کمینه است که پیش‌انگاشتِ ترتیب و روابط مقایسه‌ای است که میانِ اعدادِ متمایز برقرار است. و در واقع، بیشینه و کمینه، در اینجا به‌مثابۀ «وحدت نامتناهی» که آغاز و پایان تمامی اعداد است، منطبق هستند:
اما وحدت نمیتواند عدد باشد، زیرا، عددْ که [عددِ] بزرگ‌تر را می‌پذیرد، به‌هیچ‌وجه نمیتواند کمینه یا بیشینۀ صرف باشد؛ اما چون وحدتْ کمینه است، سرآغازِ تمامی اعداد است و چون بیشینه است، پایانِ تمامِ اعداد است.
بنابراین، تامل دربارۀ ماهیتِ اعداد و دنبالۀ اعداد، اولین پاسخ به این پرسش که چگونه نامتناهی می‌تواند معیاری برای متناهی باشد را به‌دست می‌دهد. بدین‌جهت [امرِ نامتناهی] معیاری‌ست که امرِ افضلْ معیارِ امرِ مقایسه‌ای محض است. امرِ مقایسه‌ای از امرِ افضل مشتق شده است و آن را پیش‌فرض می‌گیرد. و توانایی ما در تشخیص امرِ مقایسه‌ای به‌عنوان مقایسه‌ای، از پیش مستلزم آگاهی و وقوف به امرِ افضل است. به‌دیگر سخن، امرِ متناهی مشتق از امرِ نامتناهی است و آن را از پیش فرض می‌گیرد و توانایی ما در تشخیصِ امرِ متناهی به‌مثابۀ متناهی، از پیش مستلزم آگاهی‌مان از امرِ نامتناهی است.
تقسیمِ پیوستار
دومین مثال ریاضی که باید درنظر گرفت تقسیمِ خطِ متناهی است. خطی برداشته و آن را نصف کنید. یکی از آن دو نیمه را برداشته و آن را نیز به‌همین شیوه نصف کنید. دوباره یکی از نیمه‌ها را برداشته و نصف کنید و مجددا به‌همین ترتیب ادامه دهید. این مثال به‌وضوح با مثالِ پیشینِ ما در باب شمارش ارتباط تنگاتنگی دارد، که طبق آن مهم نیست چندبار خط را تقسیم کنم، همیشه می‌توانم خط را تقسیم کنم و به پایانی برای این فرآیند نسبت به زمانی که ابتدا آن را شروع کردم، نزدیک‌تر نشوم. مانند صعود در مقیاسِ اعداد، نزول در تقسیمِ پیوستار به خطوطی که رفته‌رفته کوچک و کوچک‌تر می‌شوندْ نیز به‌طوربالقوه بی‌انتهاست. هیچ‌گاه امرِ نامتناهی را نمی‌توان با چنین جمعِ تدریجی (در مثالِ شمارش) و یا چنین تقسیمی (در مثالِ پیوستار) به دست آورد. کوزانوس این مشابهت را صراحتاً در عبارت زیر مورد توجه قرار می‌دهد:
از آنجاییکه صعود به بیشینۀ محض و یا نزول به کمینۀ محض ناممکن است، آن‌طوری که درباب شمارش و تقسیمِ پیوستار مشهود است، [لذا] هیچ گذاری به امرِ نامتناهی وجود ندارد. این واضح است که برای هر چیزِ متناهیِ معین، لزوما می‌توان در کمّیت، قدرت، کمال و... یک بیشتر و یک کمتر ارائه داد.
هیچ پیشروی و توالیِ بیشتر و کمتری به نامتناهی وجود ندارد. بیشتر و کمتر نمی‌توانند به امرِ نامتناهی اعمال شوند؛ [زیرا] که امرِ نامتناهی مقدم بر تمام روابط مقایسه‌ای و بنیادِ آن‌هاست. دوباره، می‌توانیم بفهمیم که بزرگ‌تر یا کوچک‌تر می‌توانند لزوماً داده شوند، چراکه ما آگاهی و وقوفِ ضمنی بر امرِ افضل (نامتناهی به‌مثابۀ بیشینه و کمینه) داریم که به‌عنوانِ معیاری برای ویژگیِ به‌طور بالقوه بی‌پایان‌بودنِ افزایش یا کاهش مقایسه‌ای برقرار است.
با این حال، کوزانوس معتقد است اگر به‌دقت به مثالِ تقسیمِ پیوستار توجه کنیم، معنای مهم دیگری را [نیز] تشخیص خواهیم داد که در آن امرِ نامتناهی نقش معیارِ امرِ متناهی را بازی می‌کند. کوزانوس باور دارد تا جایی‌که نامتناهیْ ذاتِ متناهی است، نامتناهی معیار است. او چه در سر دارد؟ کوزانوس از اینجا شروع می‌کند و از ما می‌خواهد یک خطِ نامتناهی متشکل از بی‌نهایت بخش (هر کدام به‌طولِ یک فوت) و یک خطِ نامتناهیِ دیگری متشکل از بی‌نهایت بخش (هر کدام به‌طولِ دو فوت) را فرض کنیم. کوزانوس می‌بیند که دو خطِ نامتناهی باید مساوی باشند، علی‌رغم این حقیقت که دو فوتْ دو برابرِ یک فوت است، زیرا یک خطِ نامتناهی نمیتواند «بزرگ‌تر» یا «بلند‌تر» از یک خطِ نامتناهیِ دیگر باشد. در غیر این صورت، صرفا به‌نحو مقایسه‌ای بزرگ خواهد بود و درعوض اینکه نامتناهی باشد، بسیار متناهی خواهد بود.
اکنون، در نگاه اول ممکن است چنین به‌نظر آید که درسی که باید آموخت این است که دو خطِ نامتناهی باید با [یکدیگر] برابر باشند، زیرا هریک از تعدادِ نامتناهی بخشِ متناهی تشکیل شده‌اند. بنابراین، ممکن است وسوسه شویم که دربابِ این مثالْ این‌چنین فکر کنیم: قبول داریم که خطی با طول 2 فوتْ دو برابر خطی با طول 1 فوت است. اما همچنین قبول داریم که خطِ متشکل از دو بخشِ 1 فوتی همان طولی (یعنی 2 فوت) را دارد که خطِ متشکل از یک بخشِ 2 فوتی دارد. به‌صورت مشابه، خطِ متشکل از چهار بخش 1 فوتی همان طولی را دارد که خطِ متشکل از دو بخش 2 فوتی دارد. تصور کنید که این ساختِ مشابه را به‌طور نامحدود ادامه دهیم. مهم نیست طولِ خط چقدر باشد (یک خطِ 200 فوتی، 4000 فوتی و...)، ما همیشه دو خط با طول یکسان خواهیم داشت، ولی یکی نسبت به دیگری از بخش‌های «بیشتری» (یعنی دو برابر تعداد بخش‌های دیگری) تشکیل شده است. اما اگر هر دو خط از «تعدادِ نامتناهی» بخش تشکیل شده باشند، این «بیشتری» ناپدید خواهد شد. هر دو خط «به‌طور نامتناهی» بلند هستند؛ دقیقاً به این دلیل که آن‌ها از تعدادِ نامتناهی قسمتِ متناهی که هریک به‌طور نامحدود گسترش می‌یابد، تشکیل شده‌اند.
هرچند اینْ آن چیزی نیست که کوزانوس در ذهن دارد. به‌یاد آوریم که هیچ سِیر افزایش یا صعودِ کمّی به نامتناهیْ نمیتواند وجود داشته باشد. بدین‌ترتیب، خطِ نامتناهی را نمی‌توان به‌عنوان چیزی متشکل از تعدادِ نامتناهی قسمتِ متناهی انگاشت. در بحث ذیلِ ملاحظات کوزانوس، این مطلب آشکار می‌شود که یک خطِ نامتناهی، متشکل از تعدادِ نامتناهی طولِ 1 فوتی، باید با یک خطِ نامتناهیِ [دیگر] متشکل از تعدادِ نامتناهی طولِ 2 فوتی برابر باشد. او در اینجا، در ادامه توضیح می‌دهد:
لذا، درست همانطور که در یک خطِ نامتناهی، 1 فوت کوچک‌تر از 2 فوت نیست، پس چنین نیست که یک خطِ نامتناهی [هنگامی که] از طولِ 1 فوت فراتر می‌رود بیش از آن [وقتی] باشد که از طولِ 2 فوت فراتر می‌رود. درواقع، از آنجایی که هر بخشِ نامتناهیْ [خود نیز] نامتناهی است، پس 1 فوت از خطِ نامتناهی، با تمامِ خط قابل‌جایگزینی است، همانطور که 2 فوت نیز چنین است.
اگر نامتناهی‌بودن یک «خطِ نامتناهی» به‌عنوان نتیجۀ متشکل بودنِ آنْ از تعداد نامتناهی بخشِ متناهی دانسته شود، آنگاه آن بخش‌های متناهی همچنان می‌توانستند با یکدیگر مقایسه و به‌عنوان بزرگ‌تر یا کوچک‌تر ارزیابی شوند. از قرار معلوم، در چنین «خطِ نامتناهیِ» مفروضی، یک فوت از دو فوت کوچک‌تر خواهد بود. ممکن است سعی کنیم چنین خطی را متشکل از قطعاتِ متناهی تصور کنیم که اما به‌طور نامحدودی در دو جهت امتداد می‌یابد؛ لذا:
اما این بیانْ گمراه‌کننده است، [زیرا] آنچه که در اینجا به‌شکلِ نمادین نشان داده‌شده استْ [تنها نمادی از] افزایشِ نامحدودِ صرف است.
خب پس چگونه نامتناهی‌بودنِ خطِ نامتناهی را، اگر نه به‌صورت امتدادِ نامتناهیِ از افزایش‌های متناهی، فهم کنیم؟ اگر خطی به‌راستی به‌مثابۀ [امتداد] نامتناهی یا بیشینه دانسته شود، باید به‌عنوان امتدادِ مطلق فهم شود. این [خطْ] طولِ مشخص‌شده‌ای ندارد که بتوان آن را با طولِ مشخص یک خطِ متناهیِ مفروض مقایسه کرد. در واقع، تا جایی که آن [خطْ] حقیقتاً نامتناهی باشد، بیشینه و کمینه منطبق‌اند. یک خطِ نامتناهی با یک خطِ کمینه منطبق است. به‌همین دلیل است که او در قطعۀ بالا، اظهار می‌کند که «چنین نیست که یک خطِ نامتناهی [هنگامی که] از طولِ 1 فوت فراتر می‌رود بیش از آن [وقتی] باشد که از طولِ 2 فوت فراتر می‌رود». به‌علاوه، یک خط نامتناهی، برخلاف یک خطِ متناهی، «غیرقابل‌تقسیم» است. به‌دیگر سخن، یک خطِ نامتناهی را نمی‌توان به اجزا [یِ خود] تقسیم نمود؛ «زیرا نامتناهی، که در آن بیشینه و کمینه منطبق هستند، اجزا ندارد». [این مطلب] به‌وضوح بدان‌جا منجر می‌شود که خطِ نامتناهی نمیتواند متشکل از اجزای متناهی باشد.
کوزانوس اغلب به‌همین نکته اشاره می‌کند -اینکه امرِ نامتناهیْ یک کلِ متشکل از اجزای متمایز نیست- با تأکید بر این نکته که هر «جزءِ» امرِ نامتناهیْ خودش باید نامتناهی باشد تا هر جزء با کل منطبق باشد. به‌همین دلیل است که در یک خطِ نامتناهی، یک فوت کوچک‌تر از دو فوت نیست. هر جزئی از امرِ نامتناهی [خود نیز] نامتناهی است به‌طوری که «1 فوت از خطِ نامتناهی، با تمامِ خط قابل‌جایگزینی است، همانطور که 2 فوت [با تمامِ خط قابل‌جایگزینی است]». اینْ همان «قابل‌جایگزین‌بودگی» است که وقتی (به‌زبان ریاضیاتِ مدرن) می‌گوییم بین یکایکِ نقاطِ روی خطِ یک فوتی و یکایکِ نقاطِ روی خطِ نامتناهی (و به‌طور مشابه برای هر قطعه خطِ متناهی) تناظر یک-به-یک وجود دارد، تشخیص داده می‌شود. هر خط متناهی به این معنا به‌طور نامتناهی سرشار است. و این سرشاریِ نامتناهی است که زمینۀ تقسیم‌پذیریِ بی‌پایان تمام خطوطِ متناهی است.
کوزانوس بدین‌صورت توضیح می‌دهد: گرچه هر خطِ متناهیِ معینْ تقسیم‌پذیر است، اما نمی‌توان آن را تا جایی که دیگر خط نباشدْ تقسیم کرد. بدین‌معنا، در تقسیمِ خط، هیچ‌گاه به جزء بسیط و اتمی که خود قابل‌تقسیم بیشتر نباشدْ نخواهیم رسیم. هر تقسیم، تکه‌ای کوچک‌تر از خط را مشخص می‌کند که خودش هنوز یک خط و همچنان قابل‌انقسامِ بیشتر است. لذا، یک خطِ متناهی از اجزای اتمی و غیرخطی تشکیل نشده است.
بنابراین، خط متناهیْ در ذاتِ خطی خود انقسام‌ناپذیر است؛ خطِ یک فوتی کمتر از خطِ یک ذَرعی نیست. لذا چنین نتیجه می‌شود که خطِ نامتناهی جوهره و ذاتِ خطِ متناهی است.
خط‌بودنْ همانا داشتن همین تمامیتِ خطی تمام و کمال است، فارغ از اینکه بزرگی [خط] چقدر کوچک یا بزرگ باشد. در واقع، این تمامیتِ خطیِ پیوستار -آن سرشاریِ بی‌انتهایش- است که باعث تقسیم‌پذیری بالقوۀ بی‌پایانِ تمام خطوطِ متناهی می‌شود.
خطِ تقسیم‌ناپذیر و نامتناهی به‌عنوان یک کل در تمام خطوط متناهیْ به‌مثابۀ ذاتِ خطیِ آن‌ها حاضر است. درست همانطور که در خطِ نامتناهی، خطِ یک فوتی کوتاه‌تر از خطِ دو فوتی نیست پس متقابلا این نیز برقرار است که:
در خطِ دو فوتیْ خطِ نامتناهی از خطِ دو فوتی نه کوچک‌تر و نه بزرگ‌تر است و نه در خطِ سه فوتیْ [خطِ نامتناهی] از خطِ سه فوتی نه کوچک‌تر و نه بزرگ‌تر است و همین‌طور الی آخر. زیراکه خطِ نامتناهیْ تقسیم‌ناپذیر و واحد است و در هر خطِ متناهیْ کل است.
امرِ نامتناهی در مقام ذاتِ آن‌ها (ذاتِ خطوطِ متناهی)، نه از آنجاییکه خطی از حیثِ بزرگی با خطِ دیگری فرق می‌کند بلکه ازآن‌جایی که هر خطی، فارغ از اندازۀ آن، همچنان یک خط است، وجود دارد. آن‌ها هرکدام در تقسیم‌ناپذیری بیشینۀ آن (امرِ نامتناهی)، و در تمامیتِ مطلقِ خطی‌اش بهرمندند. پس از این نظر، خطِ نامتناهی معیارِ دقیقی برای هر خطِ متناهی است. کوزانوس این مطلب را استعارۀ مفیدی می‌داند برای توصیفِ شیوه‌ای که در آن امرِ بیشینۀ الهیْ ذات و از این‌رو «بسنده‌ترین و دقیق‌ترین معیار» برای همۀ چیزهای مخلوق است. امر بیشینۀ الهی ذاتِ هر چیز مخلوقی است و تمام‌وکمال در هر چیز متناهی حضور دارد، نه از آن‌جهت که مخلوقی از مخلوقِ دیگری متمایز باشد، بلکه از آن‌جهت که وجودِ ذاتی برای هر چیزی باشد. هر آفریدۀ متناهی (هرچند به‌نحو محدود) از نامتناهیِ الهی بهره‌مند است. به همین دلیل است که کوزانوس هر مخلوقی را در مقامِ «نامتناهیِ متناهی» یا «خدای مخلوق» توصیف می‌کند. هر چیزِ متناهی، یک «انقباضِ» منحصربه‌فرد از نامتناهیِ الهی است.
چندضلعی محاطی
سومین استعارۀ ریاضی که درنظر می‌گیریم بَس‌ضلعیِ محاط در دایره است. این استعاره در همان ابتدای جلدِ اولِ دربارۀ جهلِ آموخته و سپس دوباره در مقطع حساسی از جلدِ سوم [نیز] ظاهر می‌شود، و بنابراین به‌مثابۀ نوعی چارچوب برای سِیر کل مطلب به‌کار می‌رود. همانطور که خواهیم دید، این استعاره هر دوی مثال‌های پیشین را دربرمی‌گیرد و آن‌ها را شرح و بسط می‌دهد تا معنای سومی را روشن کند که در آن امرِ نامتناهی به‌مثابۀ معیارِ امرِ متناهی، در مقامِ هدف و کمالِ آن، عمل کند.
[استعارۀ] چندضلعی محاطی نخستین‌بار در فصلِ سوم از کتابِ اول ظاهر شد تا کمک کند که چگونه حقیقتِ دقیقِ چیزها برای خردِ (انسانی) متناهیْ دست‌نیافتنی است. کوزانوس با یادآوری این نکته به خواننده آغاز می‌کند که هیچ نسبت و تناسبی میان امرِ متناهی و امرِ نامتناهی وجود ندارد و تا هنگامی‌که با بزرگ‌تر و کوچک‌تر سروکار داریم، به بیشینۀ حقیقی نخواهیم رسید. حال، تمام چیزهای متناهی در روابط مقایسه‌ای با یکدیگر قرار دارند. یک چیز می‌تواند کم‌وبیش به چیزی در نسبت با چیزِ سومی شبیه‌تر باشد. اما هیچ دو چیزِ متناهی «آنقدر شبیه و برابر باهم نیستند که نتوانند الی‌الابد به‌یک‌دیگر شبیه‌تر شوند». این امر، همانطور که دیدیم، بدین‌خاطر است که نامتناهیِ الهی در قلبِ وجود هر چیزِ مخلوقی به‌مثابۀ ذاتِ آن نهفته است. هر چیزِ متناهی، انقباضِ منحصربه‌فردی از امرِ نامتناهیِ الهی است. بدین‌ترتیب، در میان چیزهای متناهی تنها درجاتی از برابری را می‌توان یافت و «هر قدر هم که سنجه و چیزِ سنجیده‌شده بتوانند [با یکدیگر] برابر باشند، همواره باز متفاوت باقی خواهند ماند».
این موضوع برای معیارهای فکریِ انسانِ متناهی نیز برقرار است. چنین سنجه‌هایی از سر ناگزیری از دستیابی به حقیقتِ دقیق چیزها که همانا ذات آن‌هاستْ سربازمی‌زند. سرشاری نامتناهیِ «این‌بودگیِ» یک مخلوق دقیقاً همان چیزی است که هست و نه چیزِ دیگری. بدین‌معنا که حقیقت چیزها بیشتر و کمتر برنمی‌دارد؛ بلکه «انقسام‌ناپذیر» است؛ بنابراین در بیشینۀ برابری است، درحالی‌که عقلِ متناهیِ انسان همیشه در رابطۀ «کمتر و بیشتر» نسبت به حقیقتی که به‌دنبال آن می‌گردد قرار می‌گیرد. کوزانوس تاکید می‌کند که خردِ متناهی، «هرگز حقیقت را آنچنان دقیق فهم نمی‌کند، بلکه [حقیقت] همیشه می‌تواند به‌صورت نامتناهی با دقتِ بیشتری دریافته شود». سپس، کوزانوس ارتباط بین خردِ متناهیِ انسان و حقیقت را نسبت به بس‌ضلعیِ محاط در دایره مقایسه می‌کند:
خرد با حقیقت در ارتباط است همان‌گونه که چندضلعی با دایره. هرچه اضلاع چندضلعی بیشتر شود، به دایره شبیه‌تر می‌شود. با این‌حال، گرچه افزایش اضلاع آن نامتناهی است، لکن هیچ‌چیز چندضلعی را با دایره برابر نمی‌سازد، مگر اینکه چندضلعی در اینهمانی با دایره منحل شود.
فارغ از آنکه چندضلعی چه تعداد ضلع و زاویه داشته باشد، همواره می‌توان چندضلعی دیگری با تعداد ضلع و زاویۀ بیشتری فرض کرد. بدین‌ترتیب، حقیقتْ به‌مثابۀ برابری حداکثری و چیستیِ خود چیزها به‌خودی‌خودشان، به‌عنوان سنجه‌ای برای کفایت تقربِ (بی‌پایان) خردِ متناهی به آن واقع می‌شود.
این مثال بینش‌های کلیدی دو مثال ریاضیِ پیشین را دربردارد. مانند صعود در سری اعداد و نزول در تقسیم پیوستار، افزایش زوایا و اضلاع چندضلعی محاطی [نیز] یک روند بالقوه بی‌پایان است. اینجا نیز، امر نامتناهی، در پوشش برابری حداکثری، به‌عنوان معیاری برای ویژگی بالقوهِ پایان‌ناپذیرِ افزایشِ مقایسه‌ای قرار می‌گیرد. این تکینگیِ غیرقابل‌انقسام حقیقت، «چه‌هستیِ» بسیطِ چیزها که غیرخودش نیست، معیار و سنجه‌ای برای کفایتِ صرفا نسبیِ تقریب‌زدنِ مفهومی فراهم می‌کند. درحالی‌که دنبالۀ چندضلعی‌های محاطی تقریب‌های بهتر و بهتری از محیطِ دایره ارائه می‌دهد، هرگز نمیتواند شکاف بین چندضلعی و دایره را پُر کند. درواقع، اهمیتی ندارد که چه‌تعداد ضلع و زاویه داشته باشد، چندضلعی، در مقامِ چندضلعی، «به‌طور نامتناهی» از بساطتِ انقسام‌ناپذیرِ دایره‌ای که آن را می‌سنجد فاصله خواهد داشت. دقیقاً همانطور که در مثالِ شمارش و تقسیمِ پیوستار، من هنگامی‌که در 10.000 (ضلع) هستم، نسبت به هنگامی‌که در 10 بودم، به انتها نزدیک‌تر نیستم.
با این وجود، در مثالِ چندضلعی، یک عنصر حیاتیِ دیگر [نیز] ظاهر می‌شود. در اینجا دایره فقط یک سنجۀ نیست که ما را قادر بسازد تا امر مقایسه‌ای را به‌مثابۀ مقایسه‌ای، یعنی به‌مثابۀ نسبتی با حداکثرِ برابریِ دایره، تشخیص دهیم. مهم‌تر آنکه، در اینجا، به‌عنوان غایتِ دنبالۀ همگرایی از چندضلعی‌ها تصور می‌شود. همان‌طوری که اضلاع و زوایای چندضلعی تا بی‌نهایت افزایش می‌یابند، چندضلعی [نیز] به انطباق با دایره نزدیک[تر] می‌شود. چندضلعی‌ای که «در اینهمانی با دایره منحل شود»، یک حد-مفهوم است که به‌عنوان غایت و کمال برای کلِ دنباله عمل می‌کند. این حد-مفهومْ تنها از رهگذر این نکته در متن مورد اشاره قرار گرفته است و خواننده باید برای جزئیات و تفصیلِ بیشتر تا کتاب سوم صبر کند. درس فوری‌ای که کوزانوس از استعارۀ چندضلعی محاطی از کتاب اول بیرون می‌کشد این است که درحالی‌که حقیقتِ دقیق به‌راستی غایتِ تکاپویِ خردمندانه است، با این‌حال غایتی است که تا ابد خارج از وصول و دسترس خردِ متناهی باقی می‌ماند. «حقیقتْ مانند مطلق‌ترینِ ضرورت است که نه می‌تواند بیشتر و نه می‌تواند کمتر از چیزی که هست باشد، حال آنکه خرد ما همچو امکان است». به‌علاوه، تشخیص اینکه تمام معیار و سنجه‌های انسانی تنها تقریب‌های به‌صورت نسبی بهتر یا بدتری از حقیقت‌اند و اینکه تمامی آن‌ها از سر ناچاری ناکافی هستند، شناختِ جهل‌مان را تشکیل می‌دهد، که البته درعین‌حال وضعِ حقیقتِ دقیق به‌مثابۀ غایتی دست‌نیافتنی است. از این‌رو، کوزانوس این بحث با ذکر این نکته به پایان می‌رساند که «هرچه عمیق‌تر بیاموزیم که در این جهل هستیم، بیشتر به حقیقت، به‌خودی‌خود، نزدیک می‌شویم».
کوزانوس در کتابِ سوم به مثال چندضلعی محاطی باز‌می‌گردد و دراینجا به‌صراحت بر حد-مفهومی که تنها در کتاب اول بدان اشاره شده بود، تمرکز می‌کند. یک‌بار دیگر، بس‌ضلعی شکلی از طبیعتِ خردمندانۀ انسان است. اینک، دایره نشان از طبیعتِ خردِ الهی دارد که حقیقتِ مطلق و ماهیت مطلق همۀ مخلوقات است. مسیح، هم به‌مثابۀ [امرِ] الهی و هم به‌مثابۀ [امرِ] انسانی، همچو حدِ دنباله‌های n-ضلعی مفهوم‌پردازی می‌شود؛ حدی که در آن، «چندضلعیِ بیشینه» در اینهمانی با دایره منحل شود.
کوزانوس، دقیقا همان‌گونه که در کتاب اول شروع کرد، [در اینجا نیز] با تقابلِ [بین] بالقوگی خردِ انسانی با خردِ الهی که به‌تنهایی به‌نحو بالفعل همه‌چیز است، شروع می‌کند. «زیرا خرد در جمیعِ هستنده‌های انسانی، به‌نحو بالقوهْ همه‌چیز است؛ درجه‌به‌درجه از بالقوه‌بودن به بالفعل‌بودن رشد می‌کند، به‌طوری‌که هرچه به‌نحو بیشتر بالفعل باشد، در به‌نحو کمتری بالقوه است». سپس بدین‌جا می‌رود که حدِ مطلقِ حرکتِ خردِ انسانِ از بالقوه‌بودن به بالفعل‌بودن را به‌مثابۀ خردِ حداکثری که در بالفعل‌بودنِ تمام‌عیار و کامل حضور دارد، مطرح کند. این خردِ حداکثری به‌عنوان حدی که در آن حدس و حقیقتِ چیزها (اندیشه و واقعیت) برهم منطبق می‌شود، تصور می‌شد. اما انطباقِ مفهوم و واقعیت به‌طور سنتی چیزی جز دانشِ خلاقِ الهی به‌خودی‌خود دانسته نمی‌شود. «از آنجاکه خردِ حداکثریْ حدِ بالقوه‌بودنِ هر ذاتِ خردمند است و وجودی کاملا بالفعل دارد، [لذا] خردِ حداکثری به‌هیچ‌وجه نمیتواند وجود داشته باشد مگر آنکه چنان خردی باشد که خدا نیز باشد و فی‌المجموع هست». از این‌رو، کوزانوس به‌هدف مفهوم‌پردازیِ این حدْ از مفهومِ کلامیِ اتحادِ اُقنومی طبیعتِ انسان با شخصِ دومِ تثلیث (کلمۀ خلاقِ خداوند) در عیسی مسیح استفاده می‌کند. آنگاه مسیح، خدا-انسان، دقیقا همان «چندضلعی بیشینه» که در کتابِ اول بدان گریز زده بود، فهمیده می‌شود؛ حدِ دنبالۀ بی‌انتهای n-ضلعی‌هایی که درنهایت در اینهمانی با دایره منحل می‌شوند:
این بدان می‌ماند که چندضلعیِ محاطی در دایرهْ طبیعتِ انسان و دایرهْ طبیعتِ الهی باشد. اگر چندضلعی به چندضلعیِ بیشینه مبدل شود که هیچ چندضلعی [دیگری] نتواند از آن بزرگ‌تر باشد، به‌هیچ‌روی فی‌نفسه با [تعداد] زوایای متناهی نمی‌توانست موجود باشد مگر در شکلِ دایره‌ای. بدین‌شیوه، دیگر نمیتواند با شکلِ خاصِ خودش وجود پیدا کند، [یعنی شکلی نخواهد داشت که] حتی به‌لحاظِ خردمندانه‌ای از خودِ شکلِ دایره‌ای و ازلی قابل‌تفکیک باشد.
پس بنابراین، در اینجا در کتاب سوم، دیگر تاکید بر دست‌نیافتنی‌بودنِ حقیقتِ دقیق برای خردِ متناهیِ انسان که هیچ‌گاه نمیتواند گام‌به‌گام و درجه‌به‌درجه به امر بیشینه واصل شود، نیست. درعوض، اینک، مستقیماً به «خردِ حداکثری» که عملکردش به‌عنوان حد و کمال طبیعتِ خردیِ انسان است، تمرکز شده است. همانطور که اشاره شد، خردِ حداکثریْ «حدِ بالقوه‌بودنِ هر طبعِ خردی است». به‌دیگر سخن، ][خردِ حداکثری] در مقامِ ایده‌آلِ تنظیمی برای خردِ انسانی عمل می‌کند تا آنجایی که به‌عنوان حالتِ بالفعل‌بودنی‌ست که هر طبیعتِ خردی به‌سمتش در کشمکش و تکاپو است. مسیح در اینجا به‌عنوان حد و کمال بالقوه‌بودنِ بی‌انتهای وجودِ خردیِ انسان دانسته می‌شود.
نتیجه‌گیری
کوزانوس به‌منظور بیان روشی که در آن امرِ نامتناهی را بتوان به‌عنوان سنجه‌ای برای امرِ متناهی فهم کرد، از سه استعاره یا مثالِ منحصراً ریاضی و مفید استفاده می‌کند: دنبالۀ اعداد، تقسیمِ پیوستار و چندضلعی محاطی. هر مثال جنبه‌های مهمی را آشکار می‌سازد که در آن امرِ نامتناهی به‌عنوان سنجه و معیارِ امرِ متناهی عمل می‌کند. مثالِ نخست، مثالِ دنبالۀ اعداد، روشی را روشن نمود که طبق آن امرِ نامتناهی (به‌مثابۀ امرِ افضل) در مقام سنجه و مقیاس برای فهم‌پذیری امرِ مقایسه‌ای عمل می‌کند. امرِ افضل در تشخیصِ قابلیتِ پیشی‌پذیری و نسبیّتِ ذاتیِ امرِ مقایسه‌ای مفروض گرفته شده است. همچنین در بنا کردن نظمِ نسبی و روابطِ مقایسه‌ای که بین چیزهای متناهی و متمایز برقرار است به‌کار می‌آید. مثالِ دوم که درمورد تقسیم و طبیعتِ پیوستار بود، نحوه‌ای را آشکار می‌سازد که در آن امرِ نامتناهی به‌مثابۀ معیار و سنجۀ امرِ متناهی عمل می‌کند، دقیقا به دلیل اینکه جوهرِ هر چیزِ متناهی است. این حضور امرِ نامتناهی در امرِ متناهی‌ست که سرشاریِ نامتناهی هر چیزِ متناهیِ کاملاً منحصربه‌فرد را بنیان می‌نهد. سرانجام، سومین استعاره که درمورد چندضلعیِ محاطی بود، شیوه‌ای را توضیح می‌دهد که امرِ نامتناهیْ امرِ متناهی را به‌مثابۀ غایت و کمالِ امرِ متناهی می‌سنجد. این مثال ریاضیِ آخر، از آنجایی که کوزانوس از آن برای بسط حد-مفهومی استفاده می‌کند تا رابطۀ میان دو مرتبه از «نامتناهیّت» را درک کند، از جاذبۀ ویژه‌ای برخوردار است: امرِ نامتناهیِ مطلق به‌عنوان معیاری برای نامتناهیّتِ سلبیِ (ناشی از فقر) میلِ بی‌پایان به آن (امرِ نامتناهیِ مطلق) عمل می‌کند.
کوزانوس هرکدام از این استعاره‌های ریاضی را برای نشان‌دادن اصول عمومی و کلی متافیزیکی استفاده می‌کند که به رابطۀ میان امرِ نامتناهی و امرِ متناهی (یعنی میان خداوند و خلق) مربوط است. او از مثال دنبالۀ اعداد استفاده می‌کند تا گشوده‌شدن آفرینش با تمامِ کثراتش از وحدتِ الهی را مجسم شود. تأملات او دربارۀ طبیعتِ پیوستار نیز به‌نوبۀ خود به تفصیلِ تصورش از درون‌ماندگاری امرِ نامتناهی در امرِ متناهی کمک می‌کند و جنبه‌های مهمی از متافیزیک او در بابِ درهمپیچیدهشدن را نشان می‌دهد. درنهایت، چندضلعی بیشینه، که در اینهمانی با دایره منحل می‌شود، پیوند بین امرِ نامتناهی و امرِ متناهی -مکانِ هندسی گشوده‌شدن و درهمپیچیدهشدن- را به‌مثابۀ یک حد-مفهوم ترسیم می‌کند؛ که درواقع [آن حد-مفهوم] انطباقِ نامتناهیّتِ سلبیِ جهان با نامتناهیّتِ مطلقِ خداوند را مطرح می‌کند.