اشاره: مسئله تدریس ریاضیات در آموزش عمومی، یکی از نمادین‌ترین مواردی است که محل مناقشه درباره پالایش کتب درسی در ایران قرار گرفته است. هر چند عزم پالایش کتب درسی، به ریاضیات منحصر نیست و منجر به علم‌زدایی وسیع‌تری از آموزش عمومی خواهد شد، ولی ریاضیات به دلیل وجه نمادین و محض بودنش، بهترین صحنه برای قضاوت درباره ایده توسعه مهارت‌های زندگی در برابر آموزش علوم محض است. و درست به دلیل خلوص بالای ریاضیات، نزاع درباره ضرورت آموزش آن، بدون پیرایه‌های بومی و فرهنگی خاص کشورها در جریان است. از همین رو می‌توان این نزاع را در کشورهای مختلف و عموما بسیار زودتر از شروع نزاع در ایران، پی‌گیری کرد. پل ارنست سعی کرده است روایتی از این نزاع چه به نحو مفهومی و چه به نحو انضمامی در جامعه بریتانیا به دست دهد. مقاله او، یک موفقیت بزرگ دارد. ارنست نشان می‌دهد که یک تضاد بنیادین میان کاربرد ریاضیات و شناخت ریاضیات وجود دارد. و این بدان معناست که دفاع از آموزش عمومی ریاضی محض (یعنی به رسمیت شناختن وجه علمی ریاضیات) نمی‌تواند به سادگی با ذکر فواید عملی آن، توجیه شود. چرا که فواید عملی آن، به قدری از شناخت علمی ریاضیاتی متمایز است که به نحو واقعی نیز نهادها و روابط اقتصادی، سیاسی و اجتماعی مجزایی برای آن شکل گرفته است. بنابراین تلاش پل ارنست در این مقاله این است که با زدودن استدلال‌های «عملی» به نفع ضرورت آموزش «علمی» ریاضیات، توجیهی درونی برای لزوم حذف نشدن ریاضی «محض» از آموزش عمومی ارائه دهد.

عکس: پرتره فیثاغورس اثر جی.آگوستوس نپ (1926)

چرا ریاضی تدریس می‌شود؟ مقاصد، اهداف، توجیهات و دلایل تدریس ریاضی چیست؟ چگونه می‌توان طرح‌ها و تمرین‌های فعلی تدریس ریاضی را توجیه کرد؟ منطق رویکردهای اصلاح شده، آینده یا ممکن برای تدریس ریاضیات چه می‌تواند باشد؟ اگر قرار باشد ریاضی تدریس شود، دلیل آن چه باید باشد؟ این سؤالات شروع به نشان دادن دامنۀ چیزی می‌کند که نیس (1996) «مسئله توجیه» برای تدریس ریاضیات نامیده است.

قبل از بحث در مورد اهداف تدریس ریاضیات، سه دیدگاه وجود دارد که می‌خواهم آنها را به عنوان تأثیر مهمی در این بحث مطرح کنم. اینها قبل از هر چیز اولا به فقدان یکتایی و تعدد ریاضیات مدرسه مربوط می شود. ثانیا، برآورد بیش از حد فعلی از کاربرد ریاضیات دانشگاهی. ثالثا به ماهیت تعبیه شده اجتماعی و اجتماعی اهداف آموزش و یادگیری ریاضیات. تصدیق این ادعاها به این معنی است که فضای گفتمانی که باید اشغال شود با بسیاری از بحث‌های سنتی در مورد اهداف آموزش ریاضی متفاوت است.

تعدد ریاضیات مدرسه
اول از همه‌می‌خواهم استدلال کنم که ریاضیات مدرسه نه به‌طور منحصربه‌فردی تعریف شده است و نه عاری از ارزش و فرهنگ. ریاضیات مدرسه همان ریاضیات آکادمیک یا تحقیقاتی نیست، بلکه یک منتخب نوبافتار از دیسیپلین والد است که خود عبارت است از تکثر (دیویس و هرش 1980). برخی از محتویات ریاضیات مدرسه جایی در این رشته ندارد، بلکه از تاریخچه و شیوه‌های رایج ریاضیات، مانند مطالعه درصدها استخراج شده است (ارنست 1986). کدام یک از بخش‌هایی که انتخاب شده‌اند و چه ارزش‌ها و اهدافی زیربنای آن انتخاب و نحوه ساختار آن بایستی ماهیت ریاضیات مدرسه را تعیین کند؟ تغییرات بیشتر توسط انتخاب‌هایی در مورد نحوه ترتیب‌بندی، تدریس و ارزیابی ریاضیات مدرسه ایجاد می‌شود. بنابراین ماهیت ریاضیات مدرسه تا حد زیادی باز است، و در نتیجه مسئله توجیه باید این تنوع را در خود جای دهد. بنابراین، مسئله توجیه نه تنها باید به منطق آموزش و یادگیری ریاضیات بپردازد، بلکه باید به این سوال که کدام ریاضیات و چگونه آموزش داده شود، توجه داشته باشد، زیرا این سوالات از مسئله، جدایی‌ناپذیر هستند.

سودمندی ریاضیات دانشگاهی بیش از حد برآورد شده است
دوم، من می‌خواهم استدلال کنم که کاربرد ریاضیات دانشگاهی و مدرسه‌ای در دنیای مدرن تا حد زیادی بیش‌ازحد برآورد شده است، و استدلال فایده‌گرایانه توجیه ضعیفی برای تدریس همگانی این موضوع در طول سال‌های تحصیل اجباری ارائه می‌کند. بنابراین، اگرچه به طور گسترده فرض می‌شود که ریاضیات دانشگاهی کاربردهای اجتماعی ریاضیات را در زمینه‌هایی مانند آموزش، دولت، تجارت و صنعت هدایت می‌کند، اما این یک وارونگی تاریخ است. پنج هزار سال پیش در بین‌النهرین باستان، نیاز حاکمان به کاتبان برای مالیات و تنظیم تجارت بود که منجر به تأسیس مدارس کتابت شد که در آن روش‌ها و مسائل ریاضی نظام‌مند می‌شدند. این امر منجر به تأسیس رشته دانشگاهی ریاضیات شد. ایجاد ریاضیات در سومر به طور خاص محصول آن مؤسسۀ آموزشی‌ای بود که قادر به ایجاد دانش، ایجاد ابزارهایی برای فرمول‌بندی و انتقال دانش، و نظام‌مند کردن دانش بود. (Høyrup 1987: 45)

از زمان این منشأ، ریاضیات محض پدید آمده است و گاهی اوقات درون این سنت (مانند طرح و حل مسئله نویسندگان در بین‌النهرین و مصر باستان) و یا خارج از آن (مانند جدا کردن هندسه ناب توسط یونانیان باستان که فیلسوفان آن را از «تمهیدات» عملی مجزا کردند). با این وجود، ریاضیات عملی زندگی مستمر و حیاتی خود را در خارج از آکادمی، در دنیای دولت، مدیریت و تجارت حفظ کرده است. حتی امروزه مطالعات سطح بالای ریاضی در حوزه حسابداری، مطالعات آماری، علوم مدیریت و کاربردهای فناوری اطلاعات بیشتر در موسسات حرفه‌ای یا تجاری خارج از آکادمی و با ورودی بی‌واسطۀ ناچیزی از ریاضیات دانشگاهی انجام می‌شود.

با این حال، دیدگاه متعارف این است که ریاضیات دانشگاهی «کاربردهای» تجاری، عملی یا محبوب‌تر آن را هدایت می‌کند. این دیدگاه این واقعیت را نادیده می‌گیرد که یک رابطه دیالکتیکی سازنده دو طرفه بین ریاضیات در داخل و خارج از آکادمی وجود دارد. برای مثال، تصور می‌شود که سنجه‌های کالاهای سنگین‌وزن و کم‌وزن باعث ایجاد علائم مثبت و منفی در ایتالیای قرون‌وسطی شده است. با این حال، پذیرش ریشه‌های منفی معادلات در ایتالیای رنسانس بود که در نهایت مجبور به شناسایی اعداد صحیح منفی به عنوان اعداد شد.

ریاضیاتی شدن جامعه مدرن و زندگی مدرن به طور تصاعدی در حال رشد است، به طوری که تاکنون تقریباً کل طیف فعالیت‌ها و نهادهای انسانی از جمله ورزش، رسانه‌های عمومی، بهداشت، آموزش، دولت، سیاست، تجارت، تولیدات تجاری و علوم به صورت عددی، مفهوم‌سازی و تنظیم شده است. بسیاری از جنبه‌های جامعه مدرن توسط سیستم‌های عددی و جبری پیچیده‌ای که عمیقاً تعبیه شده است، تنظیم می‌شوند، مانند صندوق‌های فروشگاه‌های سوپرمارکت با تولید خودکار صورت‌حساب، کنترل سهام. سیستم‌های مالیاتی؛ سیستم‌های مزایای رفاهی؛ سیستم‌های یارانه صنعتی، کشاورزی و آموزشی؛ سیستم‌های رای گیری؛ سیستم‌های بازار سهام و... این سیستم‌های خودکار وظایف پیچیده جمع‌آوری اطلاعات، اجرای سیاست و تخصیص منابع را انجام می‌دهند. نیس (1983) این را «قدرت قالب‌بندی» ریاضیات و اسکوسموز (1994) سیستم‌های درگیر را که در شیوه‌های اجتماعی تعبیه شده‌اند، «انتزاعات تحقق‌یافته» نامید. نکته این است که از ریاضیات پیچیده برای تنظیم بسیاری از جنبه‌های زندگی ما استفاده می‌شود. حساب‌های مالی، بانکی و بانکی ما پس از استقرار سیستم‌ها، با نظارت و مداخله انسانی بسیار کمی روبه‌رو هستند.

علاوه بر این، مفهوم‌سازی افراد از زندگی خود و جهان مربوط به آنها از طریق یک چارچوب بسیار کمّی انجام می‌شود. الزام کارگران و کارمندان کارآمد برای تنظیم سودآوری تولید مواد، ساختار و کنترل فضا و زمان را ضروری می‌سازد (تیلور 1911) و برای اینکه هویت‌های خود کارگران از طریق این چارچوب ساختار یافته فضا-زمان-اقتصاد بنیانگذاری و ساخته شود (فوکو 1976). ما زندگی خود را از طریق شبکه‌های مفهومی ساعت، تقویم، جدول زمانی کاری، برنامه‌ریزی سفر و جدول زمانی، امور مالی و ارز، بیمه، حقوق بازنشستگی، مالیات، اندازه‌گیری وزن، طول، مساحت و حجم، نمایش‌های گرافیکی و هندسی و غیره درک می‌کنیم. این شبکه‌ها، افراد را به‌عنوان سوژه‌های تنظیم‌شده و کارگران را در جامعه/دولت کنترل‌کننده اطلاعات، به‌عنوان مصرف‌کننده در جامعه مصرف‌گرای پست مدرن، و به‌عنوان موجوداتی در یک جهان کمی وضع می‌کند.

در عصر متاخر یا پست مدرنیسم، هستی‌شناسی یا «استعاره ریشه‌ای» مرتبط با ریاضیات (Pepper 1948)، در ادراک عمومی غالب و در جامعه قدرتمند شده است. به طور خاص، ادعای من این است که ترازنامه حسابدار و دنیای مالی به عنوان نمایانگر واقعیت نهایی تلقی شده است. اگرچه عناصر چنین نقد اجتماعی به خوبی در نظریه انتقادی پیش‌بینی شده است (مثلاً مارکوزه 1964، یانگ 1979)، این دیدگاه اغلب برای نقد خود ریاضیات تغییر نکرده است. ادعای من این است که نقش آشکار ریاضیات دانشگاهی -چیزی که ما فی‌نفسه آن را ریاضی می‌شناسیم- در این وضعیت بیش از حد جدی گرفته می‌شود. این علم مدیریت، کاربردهای فناوری اطلاعات، حسابداری، مطالعات آماری و اقتصاد است که منبع این ریاضیات عظیم در مقیاس اجتماعی است.

این پیامدهای مهمی برای مشکل توجیه دارد، زیرا به این معنی است که اگرچه بدون شک یک انقلاب اطلاعاتی در حال وقوع است، دانش ریاضی افزایش یافته [در آکادمی]، مورد نیاز اکثر مردم برای مقابله با نقش‌های جدید خود به‌عنوان افراد تنظیم‌شده، کارگران و مصرف‌کنندگان نیست. مهارت‌های ریاضی بیشتری فراتر از مهارت‌های پایه در میان عموم مردم در جوامع صنعتی برای «کنار آمدن» با این تغییرات مورد نیاز نیست، اگر «کنار آمدن»، مانند اینجا، به معنای خدمت‌کردن به جای تسلط انتقادی است که در زیر مورد بحث قرار می‌گیرد. بنابراین موفقیت ملی در مطالعات بین‌المللی دستاوردهای ریاضی، خالق موفقیت اقتصادی نیست، مگر اینکه داشتن افراد موفق و مصرف‌کنندگان منطبق بر آن چیزی باشد که مورد نیاز است. البته نیاز به نخبگان کوچکی وجود دارد که سیستم‌ها و مکانیسم‌های اطلاعاتی را کنترل می‌کنند، و گروهی از تکنسین‌های متخصص برای سرویس‌دهی یا برنامه‌نویسی آنها. اینها باید در همه جوامع صنعتی وجود داشته باشد. اما این گروه نماینده یک اقلیت کوچک در جامعه هستند و نیازهای بسیار ویژه آنها نباید اهداف آموزش ریاضی را برای همه تعیین کند. علاوه بر این، اگر این تحلیل درست باشد، این ریاضیات دانشگاهی نیست که برای انقلاب اطلاعات بسیار مفید و مورد نیاز است. در عوض مجموعه‌ای از موضوعات و شیوه‌های ریاضی فنی است که عمدتاً در خارج از آکادمی نهادینه شده و تدریس می‌شوند یا در عمل به دست می‌آیند.

به طور خلاصه، ادعای من این است که دانش و شایستگی ریاضی بالاتر، یعنی فراتر از سطح محاسباتی که در مدرسه ابتدایی یا ابتدایی به دست آمده است، برای اکثریت مردم برای تضمین موفقیت اقتصادی جامعه صنعتی مدرن مورد نیاز نیست. اگرچه توجیهات دیگری برای ریاضیات مدرسه می‌توان ارائه کرد و در واقع در زیر آورده خواهد شد، اما استدلال سنتی سودمندی دیگر معتبر نیست. اکثر مردم به دلایل اقتصادی نیازی به درک ریاضی پیشرفته ندارند و اقلیت‌هایی که ریاضیات را «به کار» می‌برند، بیشتر دانش مفید خود را در مؤسسات خارج از دانشگاه یا مدرسه به دست می‌آورند. این به دلیل «ارتباط عینی همزمان و بی‌ربط ذهنی ریاضیات» در جامعه، «پارادوکس ربط» نامیده شده است (Niss 1994: 371). جامعه به طور فزاینده‌ای ریاضی می‌شود، اما این در سطحی عمل می‌کند که برای اکثر اعضای آن نامرئی است.

اهداف تدریس ریاضیات به صورت اجتماعی و اجتماعی تعبیه شده است
سوم من می خواهم ادعا کنم که اهداف تدریس ریاضیات را نمی‌توان جدا از بافت اجتماعی آنها به طور معناداری در نظر گرفت. اهداف بیان قصد هستند و نیات متعلق به گروه‌ها یا افراد است. بنابراین اهداف آموزشی بیان ارزش‌ها، علایق و حتی ایدئولوژی‌های افراد یا گروه‌های خاص است. علاوه بر این، منافع و ایدئولوژی برخی از این گروه‌ها در تضاد است. در جای دیگر، با تکیه بر تحلیل اساسی ریموند ویلیامز (1961)، من پنج گروه ذینفع را در تاریخ اندیشه آموزشی و اجتماعی در بریتانیا متمایز می‌کنم و نشان می‌دهم که هر کدام اهداف مشخصی برای آموزش ریاضی و دیدگاه‌های متفاوتی از ماهیت ریاضیات دارند (ارنست 1991). . این گروه‌ها و اهداف آنها در جدول 1 خلاصه شده است.

این گروه‌های اجتماعی مختلف از اواخر دهه 1980 درگیر رقابت بر سر برنامه درسی ملی ریاضیات بودند (براون 1996). به طور خلاصه، سه گروه مرتحج نخست، توانستند در برنامه درسی جایگاهی را برای اهداف خود به دست آورند. گروه چهارم (مربیان مترقی) خود را با گنجاندن یک بعد دانش-کاربرد شخصی، یعنی فرآیندهای «استفاده و به کارگیری ریاضیات» که یکی از اهداف دستیابی به برنامه درسی ملی است، آشتی دادند. با این حال، این مؤلفه به‌جای نمایش اهداف خودآگاهی تدریجی از طریق ریاضیات، اهداف سودمندی را در بر می‌گیرد: مهارت‌های عملی توانایی به کار بردن ریاضیات برای حل مسائل مربوط به کار با ریاضیات. علیرغم این امتیاز بر سر ماهیت عنصر فرآیندی که در برنامه درسی گنجانده شده است، دامنه این عنصر به دلیل تجدیدنظرهای متوالی کاهش یافته است و در حال حاضر به طور کامل حذف شده است.

هدف مربیان عمومی، در مورد توسعه شهروندی انتقادی و توانمندسازی برای تغییر اجتماعی و برابری از طریق ریاضیات، هیچ نقشی در برنامه درسی ملی نداشته است (و در بسیاری از پیشرفت‌های برنامه درسی دیگر نیز غایب است). بنابراین اگرچه مترقیان، ریاضیات را در چارچوب تجربه فردی می بینند، اما این تصور که فرد از نظر اجتماعی در دنیای ناعادلانه ای قرار دارد که در آن شهروندان باید نقش فعالی در نقد و اصلاح خطاها داشته باشند، هنوز در صحنه هیچ نقشی بازی نمی‌کند.

نتیجه رقابت‌ها و فرآیندهای تاریخی این است که می‌توان گفت برنامه درسی ملی سه هدف اصلی را دنبال می‌کند. اول از همه، بخش زیادی از برنامه درسی ملی ریاضیات به برقراری ارتباط اعداد و مهارت‌ها و دانش پایه ریاضی در طیفی از موضوعات ریاضی شامل عدد، جبر، شکل و فضا (هندسه و اندازه‌ها) و مدیریت داده‌ها (شامل ریاضیات فناوری اطلاعات، احتمال و آمار) اختصاص دارد.

ثانیاً، برای دانش‌آموزان پیشرفته یا علاقه‌‌مند، درک و استفاده از این حوزه‌های ریاضیات در سطوح بالاتر به عنوان هدف گنجانده شده است. بنابراین شروعی برای مجموعه‌ای از تمرین‌های نمادین آکادمیک ریاضیات برای افراد معدودی (مثلاً گواهی عمومی آموزش و پرورش مطالعات سطح پیشرفته برای افراد 16-18 ساله) وجود دارد.

سوم، یک رشته فرآیند عملی در ریاضیات برنامه درسی ملی وجود دارد (یا بهتر است بگوییم، همانطور که به زودی به شدت کاهش می‌یابد) که هدف آن توسعه مهارت‌های سودمند استفاده و کاربرد ریاضیات در مسائل «دنیای واقعی» است.

هر یک از این سه پیامد کم و بیش سودمند هستند، زیرا مهارت‌ها و قابلیت‌های ریاضی عمومی یا تخصصی را توسعه می‌دهند، که یا از زمینه خارج می‌شوند -یادگیرنده را به ابزارهای مفید مجهز می‌کنند- یا برای مسائل عملی به کار می‌روند. انحراف این نتیجه برای هیچ‌کس تعجب آور نیست، زیرا کل محور برنامه درسی ملی به رسمیت شناخته شده است که به سمت شایستگی و توانایی علمی و فناوری است. سیاست جدید آموزش کارگری این فشار را حفظ کرده است.

قابلیت در مقابل شناخت
در آموزش فناوری، نظریه‌پردازان برنامه درسی بین توسعه قابلیت‌های فناورانه از یک سو و شناخت یا آگاهی از سوی دیگر تمایز قائل می شوند (جفری 1988). به طور خلاصه، قابلیت فناوری شامل دانش و مهارت‌هایی است که در برنامه‌ریزی و ساخت مصنوعات و سیستم‌ها دخیل هستند. شناخت و آگاهی از فناوری شامل مهارت‌ها، دانش و قضاوت سطح بالاتری است که برای ارزیابی اهمیت، واردات و ارزش مصنوعات و سیستم‌های فناوری در زمینه‌های اجتماعی، علمی، فناوری، محیطی، اقتصادی و اخلاقی آن‌ها لازم است.

تمایز مشابهی را می توان برای ریاضیات اعمال کرد که سؤال زیر را مطرح می کند. آیا ریاضیات مدرسه تماماً در مورد توانایی است، یعنی «انجام دادن»، یا ممکن است یک عنصر شناخت وجود داشته باشد که در برنامه درسی ملی نادیده گرفته شده باشد؟ دیدگاه معروفی وجود دارد که «ریاضی یک ورزش تماشاگرپسند نیست»، یعنی درباره حل مسائل، اجرای الگوریتم‌ها و رویه‌ها، محاسبه راه حل‌ها و... است. به جز در حوزه عمومی، یا در زمینه‌های علوم اجتماعی یا علوم انسانی که در مورد ریاضیات به جای فعالیت در ریاضیات، اظهار نظر می‌کنند، هیچ کس کتاب‌های ریاضی را نمی‌خواند، بلکه از طریق آنها کار می‌کنند. علاوه بر این، زبان ریاضیات مدرسه و پژوهشی مملو از موارد ضروری است که به خواننده دستور می‌دهد تا کاری را انجام دهد، نه اینکه یک روایت را دنبال کند (روتمن 1993، ارنست 1998). بنابراین بعد قابلیت ریاضیات، و به ویژه ریاضیات مدرسه‌ای، غالب و شاید جهانی است.

البته اگر قرار باشد که ریاضیات نقش عمده ای در برنامه درسی داشته باشد، همانطور که تقریباً همیشه وجود دارد، یک عنصر توانایی بزرگ لازم است، زیرا بدون شک دانش ریاضیات به عنوان یک زبان و یک ابزار، مستلزم توانایی کار و به کارگیری آن است. علاوه بر این، توانایی حداقلی ریاضیاتی برای توسعه شناخت ریاضیاتی ضروری است. اما آیا توانایی به تنهایی کافی است؟ آیا برنامه درسی منتشر شده به موارد دیگری مانند شناخت پرداخته است؟ آیا توسعه شناخت ریاضی یک هدف ارزشمند و قابل توجیه برای ریاضیات مدرسه خواهد بود؟ اگر چنین است، شناخت ریاضی چیست و چگونه می‌توان به شناخت پرداخت؟

اولین مسئله‌ای که باید به آن پرداخته شود این است که «شناخت ریاضیات» به چه معناست. به نظر من، تحلیل موقتی از آنچه شناخت ریاضیات به طور گسترده ممکن است به معنای آن باشد، شامل عناصر زیر از آگاهی است:

1. داشتن درک کیفی برخی از ایده‌های بزرگ ریاضیات مانند بی‌نهایت، تقارن، ساختار، بازگشت، اثبات، هرج و مرج، تصادف و...

2. توانایی درک شاخه‌ها و مفاهیم اصلی ریاضیات و داشتن حسی از پیوندها، وابستگی‌های متقابل و وحدت کلی ریاضیات.

3. درک اینکه دیدگاه‌های متعددی درباره ماهیت ریاضیات وجود دارد و بر سر مبانی فلسفی آن اختلاف نظر وجود دارد.

4. آگاهی از چگونگی و میزان نفوذ تفکر ریاضی در زندگی روزمره و فروشگاهی و امور جاری، حتی اگر ریاضی نامیده نشود.

5. درک انتقادی کاربردهای ریاضیات در جامعه: شناسایی، تفسیر، ارزیابی و نقد ریاضیات نهفته در نظام‌ها و ادعاهای اجتماعی و سیاسی، از تبلیغات گرفته تا اعلامیه‌های دولتی و گروه‌های ذینفع.

6. آگاهی از تحولات تاریخی ریاضیات، زمینه‌های اجتماعی خاستگاه مفاهیم ریاضی، نمادگرایی، نظریه ها و مسائل.

7. داشتن حس ریاضی به عنوان عنصر مرکزی فرهنگ، هنر و زندگی، حال و گذشته که در علم، فناوری و همه جنبه‌های فرهنگ بشری نفوذ کرده و زیربنای آن است.

به طور خلاصه، شناخت ریاضیات مستلزم درک و آگاهی از ماهیت و ارزش آن، و همچنین درک و توانایی در نقد کاربردهای اجتماعی آن است. وسعت دانش و درک درگیر به طور بالقوه بسیار زیاد است، اما بسیاری از یادگیرندگان بدون اینکه در معرض چندین مورد از این هفت حوزه شناخت قرار گرفته باشند، مدرسه را ترک می‌کنند.

هدف من از طرح تضاد توانایی و شناخت در ریاضیات، جلب توجه به نادیده گرفتن دومی، هم در تئوری و هم در عمل است. برای داشتن شهروندی باسواد ریاضی و قادر به نقد کاربردهای اجتماعی ریاضیات، که هدف جایگاه مربیان عمومی است که در بالا خلاصه شد، باید به سمت تحقق شناخت ریاضیات به پیش رفت. با این حال، حتی اگر این امر محقق شود، هنوز یک عنصر دیگر وجود ندارد و آن توسعه شناخت ریاضیات به عنوان یک عنصر فرهنگ، و فرهنگ درونی و ماهیت خود ریاضیات است. علیرغم عشقی که بیشتر معلمان، مربیان و ریاضیدانان به ریاضیات احساس می‌کنند، پرورش شناخت ریاضیات، به این معنا، به عنوان هدف تدریس ریاضی، ترویج نمی‌شود. بنابراین ممکن است گفته شود که متخصصان ریاضیات هم به موضوع خود اهمیت نمی‌دهند و هم توانایی دانش‌آموزان خود را برای شناخت از آن دست کم می‌گیرند.

جمع‌بندی
به طور خلاصه، چهار هدف اصلی برای ریاضیات مدرسه در بالا مورد بحث قرار گرفته است.

1. بازتولید مهارت ریاضی و توانایی مبتنی بر دانش

برنامه درسی معمولی ریاضیات منحصراً بر این هدف اولیه متمرکز شده است که شامل خواندن محدودی از توانایی ریاضی است. در بالاترین سطح، که لزوما همواره محقق نمی‌شود، یادگیرنده می‌آموزد که به سوالات مطرح شده توسط معلم یا متن پاسخ دهد. همانطور که در جاهای دیگر بحث شده است (ارنست 1991) این نه تنها به بازتولید دانش و مهارت‌های ریاضی در یادگیرنده کمک می‌کند، بلکه نظم اجتماعی و بی‌عدالتی اجتماعی را نیز بازتولید می‌کند.

2. توسعه قابلیت‌های خلاقانه در ریاضیات

جنبش آموزش ریاضیات پیشرو هدف دومی را اضافه کرده است که به یادگیرنده اجازه می‌دهد تا خلاق باشد و خود را در ریاضیات از طریق حل مسئله، کار تحقیقی، استفاده از انواع نمایش‌ها و... بیان کند. این به دانش‌آموز اجازه می‌دهد تا سوالات، معماها و مسائل ریاضی را مطرح کند و همچنین آنها را حل کند. این مفهوم ایده رشد فردی خلاق و مهارت‌های پرسش‌گری ریاضی را به عنوان هدف مدرسه اضافه می‌کند، اما در یک ایدئولوژی فردگرایانه که نمی‌تواند زمینه‌های اجتماعی و اجتماعی مدرسه را تصدیق کند، گرفتار می‌ماند، و بنابراین به طور ضمنی وضعیت موجود اجتماعی را تأیید می‌کند.

3. توسعه توانمندی‌های ریاضی و درک انتقادی از کاربردها و کاربردهای اجتماعی ریاضیات

آموزش ریاضی انتقادی در سومین هدف، توانمندسازی یادگیرنده از طریق توسعه قابلیت‌های سواد ریاضی انتقادی و درک انتقادی از ریاضیات موجود در زمینه‌های اجتماعی و سیاسی را اضافه می‌کند. بنابراین، یادگیرنده توانمند نه تنها قادر به طرح و حل سؤالات ریاضی خواهد بود، بلکه قادر خواهد بود به سؤالات مهم مربوط به طیف گسترده‌ای از کاربردهای اجتماعی (و سوء استفاده‌ها) از ریاضیات نیز بپردازد. این دیدگاه مجموعه‌ای از اهداف رادیکال است که هم به توانمندسازی سیاسی و اجتماعی یادگیرنده و هم به ارتقای عدالت اجتماعی مربوط می‌شود و تقریباً در هیچ کجا در آموزش و پرورش مدارس معمولی تحقق نمی‌یابد. با این حال، تمرکز در عنصر شناخت توسعه یافته در این دیدگاه بر زمینه‌های اجتماعی بیرونی ریاضیات است. مسلماً اینها ممکن است شامل تاریخ ریاضیات و زمینه‌های فرهنگی گذشته و حال آن باشد، اما اینها هیچ‌گونه برخورد کاملی با شناخت ریاضیات را نشان نمی‌دهند.

4. ایجاد درک درونی از ریاضیات: ایده‌های بزرگ آن و ماهیتش

این هدف چهارم، بُعد بیشتری از شناخت ریاضی، یعنی شناخت درونی ریاضیات، از جمله ایده‌های بزرگ و ماهیت ریاضیات را می‌افزاید. شناخت ریاضیات به عنوان کمکی منحصر به فرد به فرهنگ بشری با مفاهیم خاص و زیبایی‌شناسی قدرتمند خود، هدفی برای ریاضیات مدرسه است که اغلب توسط ریاضیدانان و کاربران ریاضیات نادیده گرفته می‌شود. معمولاً افرادی مانند اینها بر «توانایی به بهای شناخت» و «کاربردهای بیرونی به بهای ذات و ارزشهای درونی آن» تأکید می‌کنند. یکی از اشتباهاتی که ممکن است در این رابطه مرتکب شوند، این فرض است که درک درونی از ریاضیات بدون توانایی ایجاد نمی‌شود. بنابراین، طبق این فرض، دانش آموز نمی‌تواند مثلاً بی‌نهایت، اثبات، نظریه فاجعه و هرج و مرج را درک کند، مگر اینکه در این مباحث، ریاضی سطح بالایی که در مدرسه مطرح نیست، توانایی ایجاد کند. هدف چهارم این فرض را زیر سوال می‌برد و نشان می‌دهد که درک درونی از ریاضیات نه تنها ممکن است، بلکه تا حدی برای همه دانش آموزان مدرسه مطلوب است.

مسئلۀ توجیه در آموزش ریاضی، مشکل‌ساز است تا حدی به این دلیل که هر به اصطلاح راه‌حلی می‌تواند تنها مجموعه‌ای جزئی از استدلال‌های مربوط به نقش آموزش و یادگیری ریاضیات برای یک مشتری خاص (یادگیرندگان)، در کشورهای خاص، در طول زمان معین باشد. چارچوبی که حامیان یک یا چند دیدگاه را راضی می‌کند. بنابراین بخشی از مشکل ماهیت تغییرپذیر و نسبی آن است. بخش دیگری از مشکل این است که ریاضیات در جامعه مدرن غربی به طور همزمان کم‌ارزش و بیش از حد ارزش‌گذاری شده است. بیش از حد ارزش گذاری شده است زیرا اول از همه، سودمندی درک شده آن به این معناست که همه افراد برای عملکرد اقتصادی به حداکثر دانش و مهارت در ریاضیات نیاز دارند. با این حال، ریاضیات زیربنای عملکرد جامعه مدرن تا حد زیادی جاسازی شده و نامرئی است. ثانیاً، پیشرفت ریاضی به اشتباه با هوش و قدرت ذهنی شناسایی می‌شود و برای درجه‌بندی و انتخاب افراد برای اشکال مختلف کار، از جمله مشاغل حرفه‌ای و همچنین از نظر مناسب بودن برای تحصیلات عالی استفاده می‌شود. به دلیل این نقش، ریاضیات به عنوان یک «فیلتر انتقادی» عمل می‌کند و در انکار فرصت‌های برابر برای بسیاری نقش داشته است (سلز 1973).

ریاضیات نیز کم ارزش است، زیرا اکثر توجیهات در حمایت از نقش محوری ادامه‌دار آن در آموزش مبتنی بر استدلال‌های بیرونی است که از نظر سودمندی و ابزاری چارچوب‌بندی شده‌اند. به عنوان یک حوزه ذاتی ارزشمند فرهنگ بشری، ریاضیات سرشار از مفاهیم چالش‌برانگیز و هیجان‌انگیز از جمله بی‌نهایت، هرج و مرج، شانس و غیره است. این قلمرو و حوزه خیالی دانش با زیبایی‌شناسی و زیبایی خاص خود است. ریاضیات همچنین نقش اساسی در فلسفه، هنر، علم، فناوری، فناوری اطلاعات و علوم اجتماعی دارد. شناخت از این دانش تا زمانی که آن‌ها در حال مطالعه آن هستند، مطمئناً بخشی از استحقاق هر دانش‌آموزی است.

ذکر استحقاق دانش‌آموز، سوالی را مطرح می‌کند که هنوز به آن پرداخته نشده است. آیا ریاضیات باید در طول سالهای تحصیل اجباری تدریس شود و آیا برنامه درسی یکسانی باید توسط همه رعایت شود؟ در صورتی که ریاضیات آنطور که معمولاً تصور می‌شود مفید نباشد، الزام یادگیرندگان به مطالعه ریاضیات در طول سال‌های سنی 5 تا 16 سالگی چندان آسان نیست. علاوه بر این، اگر آنطور که تحقیقات نشان می‌دهد تقریباً برای نیمی از جمعیت، تجربه یادگیری ناخوشایندی است، آیا نباید به خود یادگیرندگان در این مورد امکان نظردهی داده شود، شاید پس از کسب صلاحیت ریاضی پایه؟ آیا تغییر ترجیحات شخصی، علایق شغلی و برنامه‌های توسعه حرفه‌ای که در دوران نوجوانی در دانش‌آموزان پدیدار می‌شود، نباید با یک برنامه درسی متفاوت ریاضیات یا با اجازه دادن به دانش‌آموزان برای انصراف کامل سازگار شوند؟ اگر قرار است آموزش و پرورش به توسعه شهروندان خودمختار و بالغ که قادر به مشارکت کامل در جامعه مدرن باشند کمک کند، باید عناصر انتخاب و تعیین سرنوشت را فراهم کند. با این حال، در فضای موجود در اینجا، من فقط می‌توانم این مسائل حیاتی را مطرح کنم، نه اینکه به طور کامل با آنها برخورد کنم.

در پایان، اجازه دهید نکته ای را در مورد شکاف بین حوزه گفتمان در مورد اهداف و حوزه عملی که تأثیر شیوه های آموزشی در آن تجربه می شود، اضافه کنم. اهداف تدریس ریاضیات هر چقدر هم که اصیل، بلند پروازانه یا با هدف دیگری باشد، باید در پرتو تأثیر آنها بر افراد و جامعه ارزیابی شوند. هرگونه در نظر گرفتن برنامه درسی ریاضی مستلزم آن است که سه سطح در نظر گرفته شود (Robitaille and Garden 1989). اینها سطوح اول برنامه درسی عمدی یا برنامه‌ریزی شده، دوم سطح برنامه درسی اجرا شده یا تصویب شده، و سوم سطوح برنامه درسی آموخته شده شامل نتایج و دستاوردهای یادگیرنده (شامل پاسخ‌های عاطفی) هستند. میزان اجرا و تحقق اهداف آموزش ریاضی در تمرین کلاسی، تعیین‌کننده اصلی ماهیت تدریس ریاضی در کلاس‌های درس است. تدریس یک فعالیت عمدی است و در حالت ایده‌آل باید یک رابطه قوی بین اهداف بیان‌شده و شیوه‌های تحقق‌یافته آموزش ریاضی وجود داشته باشد. در جایی که این پیوند به دست نمی‌آید، زمینه ای از عدم تعادل و ناهماهنگی وجود دارد که باعث ایجاد استرس برای معلمان و دانش‌آموزان می شود. البته این می‌تواند در موقعیتی ارتجاعی باشد که مفاهیم و شیوه‌های سنتی برنامه‌های درسی توجیه شده را زیر و رو می‌کنند. با این حال، می‌تواند محل مقاومتی باشد که در آن اهدافی که به‌طور محلی نالایق یا نامحبوب تلقی می‌شوند واژگون می‌شوند. این یک بار دیگر این موضوع را مطرح می‌کند که ارزش‌ها و دیدگاه‌های گروه در تعیین اهداف تدریس ریاضیات غالب است و چه کسی سود می‌برد و چه کسی ضرر می‌کند.

References

Brown, M. (1996) The context of the research - the evolution of the National Curriculum for mathematics. In D. C. Johnson and A. Millett (Eds.) Implementing the Mathematics National Curriculum: Policy, Politics and Practice. London: Paul Chapman Publishing Ltd., pp.1 - 28.

Davis, P. J. and Hersh, R. (1980) The Mathematical Experience, Boston: Birkhauser.

Ernest, P. (1986) Social and Political Values, Mathematics Teaching, No. 116, 16-18.

Ernest, P. (1991) The Philosophy of Mathematics Education. London: The Falmer Press.

Ernest, P. (1998) Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics. Albany: New York: SUNY Press.

Foucault, M. (1976) Discipline and Punish, Harmondsworth, Penguin

Høyrup, J. (1987) Influences of Institutionalized Mathematics Teaching on the Development and Organisation of Mathematical Thought in the Pre-Modern Period. Bielefeld. In Fauvel, J. and Gray, J., Eds, The History of Mathematics: A Reader. London: Macmillan, 1987, 43-45.

Jeffery, J. (1988) Technology Across the Curriculum: A Discussion Paper. Unpublished paper, Exeter: University of Exeter School of Education.

Marcuse, H. (1964) One Dimensional Man. London: Routledge and Kegan Paul.

Niss, M. (1983) Mathematics Education for the ‘Automatical Society’. In Schaper, R. Ed. (1983) Hochschuldidaktik der Mathematik (Proceedings of a conference held at Kassel 4-6 October 1983). Alsbach-Bergstrasse, Germany: Leuchtturm-Verlag, 43-61.

Niss, M. (1994) Mathematics in Society. In Biehler, R., Scholz, R. W., Straesser, R., Winkelmann, B. Eds. (1994) The Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht: Kluwer, 367-378.

Niss, M. (1996) Goals of Mathematics Teaching. In Bishop, A. J. Ed. The International Handbook of Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic, Volume 1, 11-47.

Pepper, S. C. (1948) World Hypotheses: A Study in Evidence. Berkeley, California: University of California Press.

Robitaille, D. F. and Garden, R. A. Eds (1989) The IEA Study of Mathematics II: Contexts and Outcomes of School Mathematics, Oxford: Pergamon.

Rotman, B. (1993) Ad Infinitum The Ghost in Turing's Machine: Taking God Out of Mathematics and Putting the Body Back in. Stanford California: Stanford University Press.

Sells, L. (1973) High school mathematics as the critical filter in the job market. Proceedings of the Conference on Minority Graduate Education, Berkeley: University of California, 37-49.

Skovsmose, O. (1994) Towards a Philosophy of Critical Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer.

Taylor, F. W. (1911) The Principles of Scientific Management, London and New York.  

Williams, R. (1961) The Long Revolution. London: Penguin Books.

Young, R. M. (1979) Why are figures so significant? The role and the critique of quantification. In Irvine, J.; Miles, I.; Evans, J. Eds. (1979) Demystifying Social Statistics. London: Pluto Press, 63-74.